Перевершивши всіх своїх опонентів, Дональд Трамп є передбачуваним кандидатом від Республіканської партії. Хіларі Клінтон закривається на блокування демократичної кандидатури.

Можливо, Клінтон і Трамп виграли праймеріз, але чи справді вони представляють те, чого хочуть американці? Насправді, як ми покажемо, саме Джон Касіч і Берні Сандерс є першими в пошані в нації. Трамп і Клінтон виходять останніми.

То як це дійшло до цього? ЗМІ, звичайно, зіграли велику роль, але те, що Трамп проти Клінтон майже напевно стане вибором цього листопада, є результатом абсолютно безглуздого методу виборів, що застосовується у праймеріз: голосування більшістю.

Це сильна заява. Але як математики, які провели останні десяток років вивчення систем голосування, ми збираємося показати вам, чому це виправдано і як цю проблему можна вирішити.

Проблема з більшістю голосів

При голосуванні більшістю голосів (МВ) виборці ставлять галочками прізвище одного кандидата, а кількість галочок визначає переможця та порядок фінішу. Це система, яка використовується в США (і в багатьох інших країнах) для обрання президентів, а також сенаторів, представників та губернаторів.

Але часто не вдається обрати кандидата, якого вважає за краще більшість.

Наприклад, у 2000 році Джорджа Буша -младшого обрали президентом через кандидатуру Ральфа Надера. У оскарженому штаті Флорида Буш мав 2,912,790 голосів, Аль Гор 2,912,253 голоси (всього на 537 менше) і Надер 97,488. Немає жодного сумніву в тому, що переважна більшість тих, хто голосував за Надера, і тому вважав за краще його перед іншими, набагато віддавав перевагу Гору перед Бушем. Якби вони змогли висловити цю перевагу, Гор був би обраний 291 голосом виборчого коледжу проти 246 Буша. Подібні порушення також мали місце у Франція.

Уявіть, якими різними можуть бути сьогодні США та світ, якби Гор переміг.

Праймериз 2016 року

Швидкий погляд на Праймеріз та президентські збори президента США, що відбулися 1 березня або до цього показує, що коли Трамп був "переможцем", він, як правило, набирав близько 40 відсотків голосів. Однак нічого в цьому результаті не впливає на думку 60 відсотків виборців, які віддали голоси комусь іншому. 

Оскільки Трамп є особливо роздрібним кандидатом, можна з упевненістю припустити, що більшість - або принаймні багато - з них рішуче виступили проти нього. ЗМІ, однак, зосередилися на людині, яка набрала найбільшу кількість голосів - тобто Трамп. Щодо демократичної частини книги, засоби масової інформації також звернули свою увагу на Гілларі Клінтон, ігноруючи Берні Сандерса, поки широка ентузіазована підтримка не змусила змінити ситуацію.

Джерело проблеми

Вибори - це не що інше, як придуманий пристрій, який вимірює підтримку виборців кандидатами, класифікує їх відповідно до їх підтримки та оголошує переможцем першим у рейтингу.

Справа в тому, що голосування більшістю робить це дуже погано.

За допомогою МВ виборці не можуть висловити свою думку щодо всіх кандидатів. Натомість кожен виборців обмежується підтримкою лише одного кандидата, за винятком усіх інших учасників.

Буш переміг Гора, тому що виборці Надера не змогли зважити на двох інших. Більше того, як ми доводимо далі, голосування більшістю може піти не так, навіть якщо є лише два кандидати.

Справа в тому, що для виборців дуже важливо мати можливість висловити нюанси своїх думок.

Що робити? Використовуйте судження більшості

Судове рішення більшості (МЮ) - це новий метод виборів, який ми спеціально розробили уникайте підводних каменів традиційних методів.

MJ просить виборців висловлювати свою думку набагато точніше, ніж просто голосувати за одного кандидата. Виборчий бюлетень пропонує широкий вибір і покладає на виборців урочисте завдання:

Щоб бути президентом Сполучених Штатів Америки, враховуючи всі відповідні міркування, я вважаю, що цей кандидат на посаду президента буде: Великим Президентом | Добрий президент | Середній президент | Бідний президент | Страшний президент

Щоб побачити, як саме MJ класифікує кандидатів, давайте розглянемо конкретні цифри.

Нам пощастило виявити в мережі, що вищевказане питання насправді було поставлено в березні Опитування дослідницького центру Pew з 1,787 зареєстрованих виборців усіх політичних мастей. (Слід зазначити, що ні респонденти, ні учасники опитування не знали, що відповіді можуть бути основою методу виборів.) Опитування Пью також включало можливість відповіді "Ніколи не чути", що тут трактується як гірше, ніж " Жахливо », оскільки це означає, що виборець заявив, що кандидат не існує.

Як видно з таблиці нижче, думки людей набагато детальніші, ніж це можна висловити за допомогою голосування більшістю. Зазначимо, зокрема, відносно високий відсоток виборців, які вважають, що Клінтон і особливо Трамп стануть жахливими президентами (П'ю повідомляє про це "Жахливий" рахунок Трампа з січня збільшився на 6 відсотків.)

Використання судження більшості для обчислення рангового порядку кандидатів за цими оцінками або оцінками є простим. Почніть з кожного кінця спектра та додайте відсотки, поки не буде включена більшість думок виборців.

Взявши за приклад Джона Касіча, 5 % вважають, що він "чудовий", 5+28 = 33 %, що він "хороший" або кращий, і 33+39 = 72 % (більшість), що він "середній" або кращий . Поглянувши з іншого боку, 9 відсотків «ніколи не чув» про нього, 9+7 = 16 відсотків вважають, що він «жахливий» чи гірший, 16+13 = 29 відсотків, що він «бідний» чи гірший, і 29+39 = 68 відсотків (більшість), що він "середній" або гірший.

Обидва розрахунки закінчуються на більшості для "Середнього", тому мажоритарний рейтинг Касича - "Середній президент". (Математично, розрахунки з обох напрямків для даного кандидата завжди будуть охоплювати більшість з одного класу.)

Подібним чином розраховано, що Сандерс, Клінтон і Круз мають однаковий мажоритарний рейтинг "Середній президент". Трамп - "Бідний президент", і він посідає останнє місце.

Щоб визначити рейтинг MJ серед чотирьох, котрі мають оцінку «Середній», необхідні ще два розрахунки.

Перший розглядає відсоток виборців, які оцінюють кандидата вище, ніж його або її мажоритарна оцінка, другий - відсоток, який оцінює кандидата нижче, ніж його або її мажоритарну оцінку. Це дає номер, який називається "калібром". Подумайте про це як про шкалу, де в одних випадках більшість оцінок сильніше схиляється до вищого рейтингу, а в інших - до нижчого.

У випадку Касича 5 + 28 = 33 відсотки оцінили його вище, ніж "Середній", а 13 + 7 + 9 = 29 відсотків оцінили його нижче "Середній". Оскільки більша частка позитивного боку, його показник становить +33 відсотки. Що стосується Сандерса, 36 відсотків оцінили його вище, а 39 відсотків - нижчим за більшість. При більшій частці негативної сторони його показник становить -39 відсотків.

Кандидат класифікується вище за іншого, коли його або її мажоритарна оцінка є кращою, або, якщо обидва мають однакову мажоритарну оцінку, відповідно до своїх показників (див. Нижче). Це правило є логічним результатом більшості прийняття рішення про оцінки кандидатів замість звичайного правила, яке ранжирує кандидатів за кількістю отриманих голосів.

Коли виборці можуть висловити свою оцінку кожному кандидату-хорошому і поганому-результати перевертаються з тих, хто голосує більшістю голосів.

Згідно з рішенням більшості, лідерами загальної думки є фактично Касіч та Сандерс. Трейлери - Клінтон і Трамп. З цієї точки зору домінуючі засоби масової інформації приділяли занадто багато уваги справжнім трейлерам і занадто мало справжнім лідерам.

Характерно, що МЮ також демонструє відносно низьку повагу суспільства до політиків. Усі п'ять кандидатів оцінюються як "середні" президенти або гірше, а жоден - як "добрі" президенти чи краще.

Невдача голосування більшістю за двох кандидатів

Але, можете заперечити, як голосування більшості лише за двох кандидатів може піти не так? Здається, це суперечить усьому, чому ви навчилися з початкової школи, де ви підняли руку за вибір класу чи проти нього.

Причина, по якій MV може помилитися навіть лише з двома кандидатами, полягає в тому, що він не отримує достатньої інформації про інтенсивність підтримки виборців.

Візьмемо, наприклад, вибір між Клінтон і Трампом, оцінки якого в опитуванні Pew наведені у першій таблиці вище.

Вибудовуючи свої оцінки від найвищої до найнижчої, кожна з оцінок Клінтон або вище, або така ж, як і оцінка Трампа. Наприклад, одинадцять відсотків вважають, що Клінтон зробить "великим" президентом 10 відсотків для Трампа. Відсоток Трампа лідирує лише у Клінтона для страшних і ніколи не чутих. Іншими словами, з огляду на ці думки, очевидно, що будь-який пристойний метод голосування повинен оцінювати Клінтон вище Трампа.

Однак голосування більшістю могло цього не зробити.

Щоб зрозуміти чому, припустимо, що “бюлетені” опитування Пью були в купі. На кожного можна було подивитися окремо. Хтось оцінив Клінтон "Середньою", а Трамп - "Поганою", хтось оцінив її "Добре", а його - "Чудовою", інші поставлять їм будь-яку з 36 можливих пар оцінок. Отже, ми можемо знайти відсоток випадків кожної пари оцінок, присвоєних Трампу та Клінтону.

У нас немає доступу до "бюлетенів" опитування Pew. Однак можна придумати багато різних сценаріїв, коли відсотки окремих бюлетенів точно узгоджуються із загальними оцінками, отриманими у першій таблиці.

Серед різних можливих сценаріїв ми обрали той, який теоретично може бути справжнім. Дійсно, ви можете самі перевірити, чи він призначає кандидатам оцінки, отримані кожним: читаючи зліва направо, Клінтон, наприклад, мав 10 + 12 = 22 відсотки "Добре", 16 + 4 = 20 відсотків "Середнє" і так далі; і те саме стосується і Трампа.

То що нам говорить цей гіпотетичний розподіл бюлетенів стосовно цих двох?

У першому стовпці ліворуч сказано, що 10 відсотків виборців оцінили Клінтон як «добре», а Трампа - як «добре». Більшістю голосів вони пішли б за Трампа. І, переходячи до десятої колонки, 4 відсотки оцінили Клінтон "Бідними", а Трампа - "Жахливою". Більшістю голосів ця група віддала б перевагу Клінтон. І так далі.

Якщо підсумовувати голоси в кожній з цих 11 колонок, Трамп отримує голоси людей, думка яких відображена у чотирьох колонках: 10+16+12+15 = 53 відсотки; Виборці підтримують Клінтон думками колон з 33 -відсотковою підтримкою; і 14 % не визначилися. Навіть якби всі, хто не визначився, проголосували за Клінтон, Трамп провів день.

Це показує, що голосування більшістю може дати дуже неправильний результат: тріумфальна перемога Трампа, коли оцінки Клінтона стабільно перевищують його!

Вид з висоти пташиного польоту

Голосування було предметом інтенсивних математичних досліджень з 1950 року, коли економіст Кеннет Ерроу опублікував свою відому "Теорема неможливості" один з двох великих внесків, за які він був удостоєний Нобелівської премії 1972 року.

Ця теорема показала, що якщо виборцям доведеться ранжувати кандидатів - сказати, іншими словами, хто першим, другим тощо - неминуче буде одна з двох основних потенційних невдач. Або може взагалі не бути явного переможця, так званий «Парадокс кондорце» відбувається, або може статися те, що отримало назву “парадокс стрілки”.

Парадокс Arrow знайомий американцям через те, що сталося на виборах 2000 року. Буш переміг Гора, бо Надер брав участь. Якби Недер не балотувався, Гор би переміг. Безумовно, абсурдним є вибір між двома кандидатами, який залежатиме від того, чи є в голосуванні якийсь неповнолітній кандидат!

Суд більшості вирішує загадку теореми Ерроу: ні Кондорсе, ні парадокс Ерроу не можуть відбутися. Це робиться тому, що виборців просять отримати більш точну інформацію, щоб оцінити кандидатів, а не оцінювати їх.

Правила МЮ, засновані на принципі більшості, відповідають основним демократичним цілям систем голосування. З цим:

• Виборці здатні висловитись більш повно, тому результати залежать від набагато більше інформації, ніж від одного голосування.
• Процес голосування виявився природним, легким і швидким: ми всі знаємо про оцінювання зі школи (як неявно зрозуміло опитування Pew).
• Кандидати зі схожими політичними характеристиками можуть балотуватися, не зачіпаючи шансів один одного: виборці можуть дати високу (або низьку) оцінку всім.
• Перемагає кандидат, якого більшість оцінила.
• MJ є найскладнішою системою для маніпулювання: блоки виборців, які перебільшують оцінки, які вони виставляють, поза своїми справжніми думками, можуть мати лише обмежений вплив на результати.
• Запитуючи більшу кількість виборців, виявляючи більше поваги до їх думки, заохочується участь. Навіть виборець, який оцінює всіх кандидатів однаково (наприклад, усі “жахливі”), впливає на результат.
• Підсумкові оцінки - мажоритарні - дозволяють кандидатам та громадськості зрозуміти, де кожен стоїть в очах електорату.
• Якщо більшість вирішить, що жоден кандидат не вважається "середнім президентом" або краще, результати виборів можуть бути скасовані та висунутий новий список кандидатів.
• Це практичний метод, який був апробований на виборах і використовувався багато разів (для оцінки призерів, Вина, претенденти на роботу, тощо). Це також було офіційно запропоновано як спосіб реформувати систему виборів президента Франції.

Реформуйте зараз

Не повинно бути несподіванкою, що у відповідь на недавнє запитання опитування Pew "Чи вважаєте ви, що праймеріз був хорошим способом визначити, хто є найкращими кандидатами чи ні?" тільки 35 відсотків респондентів відповіли "так".

Демократії скрізь страждають. Виборці протестують. Громадяни не голосують. Збільшується підтримка політичних крайнощів. Ми стверджуємо, що однією з основних причин є голосування більшістю, як це зараз практикується, та його вплив на засоби масової інформації.

Введені в оману результатами первинних виборів та опитувань, засоби масової інформації концентрують свою увагу на кандидатах, які, здається, є лідерами, але яких більшість електорату часто вважають прийнятними. Суд більшості виправив би ці недоліки.

Про авторів

Мішель Балінський, прикладний математик та математичний економіст, "Directeur de recherche de classe exceptionnelle" (emeritus) CNRS, Політехнічна школа Еко - Паризький університет

Ріда Ларакі, керівник відділу CNRS au LAMSADE, професор політехнічної школи, Університет Парижа Дофін - PSL

Ця стаття була спочатку опублікована на Бесіда. Читати оригінал статті.

Суміжні книги

at InnerSelf Market і Amazon