Скільки левів потрібно, щоб убити ягняти? Відповідь не така однозначна, як ви можете подумати. Ні, принаймні, згідно теорії ігор.

Теорія ігор це розділ математики, який вивчає та передбачає прийняття рішень. Це часто передбачає створення гіпотетичних сценаріїв, або “ігор”, за допомогою яких певна кількість людей, що називаються “гравцями” або “агентами”, може вибирати з певного набору дій відповідно до ряду правил. Кожна дія матиме "виплату", і мета, як правило, полягає в тому, щоб знайти максимальну виплату для кожного гравця, щоб визначити, як вони могли б поводитися.

Цей метод застосовувався в самих різних предметах, в тому числі економіка, біологія, політика та психологія, а також допомогти пояснити поведінку на аукціонах, голосування та ринкову конкуренцію. Але теорія ігор, завдяки своїй природі, також породила деякі розважальні мозку.

Одна з менш відомих з цих головоломок передбачає розробку того, як гравці змагатимуться за ресурси, в даному випадку голодних левів та смачного баранини. Група левів живе на острові, вкритому травою, але без інших тварин. Леви однакові, абсолютно раціональні та усвідомлюють, що всі інші раціональні. Вони також усвідомлюють, що всі інші леви усвідомлюють, що всі інші раціональні тощо. Це взаємне усвідомлення - це те, що називають „загальні знання". Це гарантує, що жоден лев не ризикне і не спробує перехитрити інших.

Природно, що леви надзвичайно голодні, але вони не намагаються битися один з одним, оскільки вони однакові за фізичною силою, і тому неминуче всі вони опиняться мертвими. Оскільки всі вони абсолютно раціональні, кожен лев воліє голодне життя перед певною смертю. Безальтернативно, вони можуть вижити, поїдаючи по суті необмежений запас трави, але всі вони воліють споживати щось м’ясніше.

Одного разу на острові дивом з’являється ягня. Якою це нещасна істота здається. Проте насправді він має шанс пережити це пекло, залежно від кількості левів (представлених літерою N). Якщо який-небудь лев з’їсть беззахисного баранчика, він стане занадто ситим, щоб захищатися від інших левів.

Якщо припустити, що леви не можуть ділитися, завдання полягає в тому, щоб з’ясувати, чи виживе ягня в залежності від значення N. Або, інакше кажучи, який найкращий спосіб дії для кожного лева - з’їсти ягняти або не їсти баранину - залежно від того, скільки інших є в групі.

Рішення

Цей тип теорії ігор, де вам потрібно знайти рішення для загального значення N (де N - ціле додатне число), є хорошим способом перевірки логіки теоретиків ігор та демонстрації того, як працює зворотна індукція. Логічна індукція передбачає використання доказів для формування висновку, який, мабуть, відповідає дійсності. Індукція назад - це спосіб знайти чітко визначену відповідь на проблему, повертаючись, покроково, до самого базового випадку, який можна вирішити простим логічним аргументом.

У грі левів основним випадком буде N = 1. Якби на острові був лише один голодний лев, він би не вагався з’їсти баранину, оскільки немає інших левів, які могли б з ним змагатися.

А тепер давайте подивимося, що відбувається у випадку N = 2. Обидва леви дійшли висновку, що якщо один з них з’їсть ягня і стане занадто ситим, щоб захищатися, його з’їсть інший лев. В результаті жоден з них не намагався б з'їсти баранину, і всі три тварини жили б щасливо разом, харчуючись травою на острові (якщо життя, яке залежить виключно від розумності двох голодних левів, можна назвати щасливим).

Для N = 3, якщо хтось із левів з’їсть баранину (фактично сам ставши беззахисним баранчиком), це зведе гру до того самого сценарію, що і для N = 2, в якому жоден із решти левів не спробує спожити щойно беззахисний лев. Тож лев, який знаходиться найближче до справжнього ягняти, з’їдає його, і три леви залишаються на острові, не намагаючись вбити один одного.

А для N = 4, якщо хтось із левів з’їсть баранину, це зведе гру до сценарію N = 3, що означатиме, що лев, який з’їв баранину, в кінцевому підсумку буде з’їдений сам. Оскільки ніхто з левів не хоче, щоб це сталося, вони залишають ягняти в спокої.

По суті, результат гри визначається дією лева, найближчого до ягняти. Для кожного цілого числа N лев розуміє, що вживання ягняти зведе гру до випадку N-1. Якщо випадок N-1 призводить до виживання ягняти, найближчий лев його з’їдає. В іншому випадку всі леви дають овечку жити. Отже, слідуючи логіці кожного разу, повертаючись до базового випадку, ми можемо зробити висновок, що ягня завжди буде з’їдено, коли N - непарне число, і виживе, коли N - парне число.

Про автора

Амірлан Сексенбаєв, кандидат фізико-математичних наук, ймовірність та додатки, Лондонський університет королеви Марії

Ця стаття була спочатку опублікована на Бесіда. Читати оригінал статті.

Суміжні книги

at InnerSelf Market і Amazon